beberapa jenis fungsi dan sifat fungsi dalam MATEMATIKA

Jenis-Jenis Fungsi dan Sifat-Sifat Fungsi

     Berbicara masalah fungsi, tentu erat kaitannya dengan relasi. Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Sedangkan, suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Dalam fungsi dikenal beberapa istilah, seperti Domain, Kodomain, dan Range. Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan), dan himpunan anggota B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f. Dalam memasangkan suatu himpunan terdapat aturan yang tertentu yang digunakan. Aturan tersebut disebut aturan fungsi.

Fungsi dibedakan kedalam beberapa jenis dan memiliki beberapa sifat, yang penting untuk diketahui. Berikut adalah jenis-jenis dan sifat-sifat fungsi.

Jenis-Jenis Fungsi

1. Fungsi konstan (fungsi tetap)

    Adalah Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Sehingga, gambar grafiknya.

2. Fungsi linear

    adalah Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan contoh berikut.

Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya.

3. Fungsi kuadrat/PARABOLA

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat/PARABOLA apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut.

Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.

4.Fungsi Pangkat

     Adalah Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan cbilangan real dan disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1.      nilai pembuat nol fungsi f

2.      nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1.      Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

2.      Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

p² – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

=  x² – 2x + 1 – 4

= (x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)      f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

5. Fungsi identitas

   Adalah Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini.

Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).

b. Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).

f(x) = x

f(–2) = –2

f(0) = 0

f(1) = – 1

f(3) = 3

b. Gambar grafik.

6. Fungsi tangga (bertingkat)

     Adalah Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Diketahui fungsi:

Tentukan interval dari:

a. f(–2)

b. f(0) e. gambar grafiknya.

c. f(3)

d. f(5)

e. gambar grafiknya.

Penyelesaian:

a. f(–2) = –1

b. f(0) = 0

c. f(3) = 2

d. f(5) = 3

e. Gambar grafik

7. Fungsi modulus

      Adalah Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut.

f : x → | x | atau f : x → | ax + b |

f(x) = | x | artinya:

Gambar grafiknya

8. Fungsi ganjil dan fungsi genap

     Adalah Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap, perhatikan contoh soal berikut ini.

Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak

genap dan tidak ganjil.

1. f(x) = 2x + x

2. f(x) = 3 cos x – 5

3. f(x) = x – 8x

Penyelesaian

1. f(x) = 2x + x

f(–x) = 2(–x) + (–x)

= –2x – x

= –(2x + x)

= –f(x)

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.

2. f(x) = 3 cos x – 5

f(–x) = 3 cos (–x) – 5

= 3 cos x – 5

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.

3. f(x) = x – 8x

f(–x) = (–x) – 8 (–x)

= x + 8x

Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x).

Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

9. Fungsi lingkaran

  

       Lingkaran adalah salah satu bangun datar yang telah kita kenal sejak SD. Lingkaran adalah suatu himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga panjang segmen-segmen garis yang ditarik dari masing-masing titik pada himpunan tersebut ke suatu titik tetap (disebut titik pusat) adalah kongruen.

Jari-jari suatu lingkaran adalah panjang segmen garis yang ditarik dari sebarang titik di lingkaran ke pusat lingkaran. Itulah yang dinamakan jari-jari lingkaran.

Sedangkan diameter adalah suatu garis lurus dari lingkaran yang melewati pusat suatu lingkaran. Panjang diameter lingkaran sama dengan dua kali panjang jari-jari suatu lingkaran.

Bagaimana jika sebuah lingkaran digambarkan pada sebuah koordinat cartecius?

Tentu saja digambar dimanapun, lingkaran tetap lingkaran. Jika suatu lingkaran digambarkan di koordinat cartecius, nantinya akan membentuk suatu persamaan.

Tentunya persamaan tersebut bukan merupakan suatu fungsi. Karena jika kita buat garis vertical yang melewati lingkaran itu nantinya akan memotong pada dua titik. Lihat kembali definisi fungsi di postingan yang lain.

Lingkaran yang kita gambarkan pada koordinat cartecius nantinya koordinat titik pusat harus diketahui.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) adalah

x²+y²=r²  ,  dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Persamaan lingkaran yang berpusat di  (a,b) dapat ditulis sebagai (x-a)²+(y-b)²=r²

, pusat terletak pada (a,b)  dan r adalah jari-jari lingkaran.

Persamaan Umum lingkaran yaitu x²+y²+Ax+By+C=0

pusat lingkaran tersebut berada pada (-a/2, -b/2)

jari-jari lingkarannya adalah r=√A²/4+B²/4-C

Contoh :

Tentukan Persamaan lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan berjari-jari 3?

Gambar lingkarannya seperti di bawah ini!

Dengan menggunakan rumus persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) maka didapatkan (x-a)²+(y-b)² =r²

Diketahui dari soal, (a,b)= (3,-2)

Dan r=3

Sehingga persamaan pun menjadi
  (x-3)²+(y+2)²=3²  
  (x-3)²+(y+2)²= 9

Variasi soal lingkaran ini tidak terlalu banyak. Beberapa tipe soal akan diberikan cara penyelesaiannya.

Mencari persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r. dapat dikerjakan dengan cara memasukkan langsung ke dalam rumus.

Mencari persamaan lingkaran jika diketahui 3 titik pada lingkaran. Ini dapat dikerjakan dengan cara mensubstitusikannya ke dalam persamaan umum lingkaran. Kemudian melakukan eliminasi-substitusi untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran.

10. Fungsi Hiperbolik atau fungsi hiperbola

     adalah salah satu hasil kombinasi dari fungsi-fungsi eksponen. Fungsi Hiperbolik memiliki rumus atau formula.   Selain itu memiliki invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. e x e− x.

Rumus

Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan p: R → R+, 2 ( ) p x = ex dan q:R → R+, 2 ( ) q x e x − = .  Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q, dengan demikian: f (x) = p(x) + q(x) dan g(x) = p(x) − q(x). Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan dasar fungsi yang memiliki kemiripan dengan sifat pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g sebagai fungsi hiperbolik. f 2 (x) − g 2 (x) = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1. Kemudian fungsi sinus hiperbolik dan tangen hiperbolik mempunyai invers karena kedua fungsi tersebut satu-satu pada setiap daerah asalnya.  Fungsi cosinus hiperbolik tidak mempunyai invers karena fungsi ini tidak satu-satu, akan tetapi dengan membatasi daerah asal x lebih dari sama dengan 0 fungsi cosinus hiperbolik mempunyai invers

11. Persamaan elips

    Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari rmemiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r². Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r², kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)² = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

§  Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.

§  Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan, 

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Untuk lebih memahami mengenai persamaan elips dan grafiknya, perhatikan contoh pada halaman selanjutnya.

Sifat-sifat Fungsi

1. Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

2. Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto.

3. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.